Materi polinomial
Assalamu’alaikum
Warahmatullahi Wabarakatuh.
Hai, teman-teman kali ini kami akan membuat
artikel tentang Ringkasan Materi Polinomial. Sebelum memasuki materi ini kami
ingin mengingatkan kembali kepada teman-teman. Di kelas sebelumnya, apakah
teman-teman telah mempelajari fungsi linear dan fungsi kuadrat ? Ya, pasti
pernah kan. Fungsi tersebut termasuk
contoh dari fungsi polinomial dalam satu variabel. Apa yang dimaksud dengan
fungsi linear? Fungsi linear adalah fungsi yang terdiri dari satu variabel,
misalnya -2x + 3 = 5, dan apakah fungsi kuadrat? Fungsi kuadrat adalah fungsi yang memiliki bentuk berupa
parabola, misalnya 2x2 - 4x + 1 = 0. Setelah teman-teman mengingat
materi tersebut. Kami akan menjelaskan ringkasan materi polinomial, di dalam
materi ini kita akan belajar menentukan nilai polinomial untuk suatu nilai
variabel, melakukan pembagian polinomial, dan menentukan penyelesaian persamaan
polinomial.
1.
Pengertian
Polinomial
Polinomial atau
suku banyak adalah suatu bentuk aljabar yang terdiri atas beberapa suku dan
memuat satu variabel berpangkat bulat positif. Pangkat tertinggi dari variabel
pada suatu polinomial dinamakan derajat polinomial tersebut. Secara umum,
polinomial berderajat n dengan variabel x dapat dituliskan sebagai berikut.
anXn + an-1Xn-1
+ an-2Xn-2 +
. . . + a2X2 + a1X + a0
|
Keterangan :
n bilangan bulat positif dan an ≠ 0
an, an-1, an-2, . . . ,
a2 ,
a1
bilangan
real dan disebut koefisien-koefisien polinomial.
a0 bilangan real dan disebut suku tetap (konstan).
Contoh :
2x4 – 4x2 - 2/3x
+ 12
|
⇾ polinomial
dengan derajat 4
5x2 – x - 3/x + 4
|
⇾ bukan polinomial karena mempunyai suku - 3/x = -3x-1
yang berpangkat bukan bilangan positif.
2.
Penjumlahan, Pengurangan, dan Perkalian Polinomial
Variabel pada polinomial merupakan suatu bilangan real
yang belum diketahui nilainya, oleh karena itu, sifat-sifat oprasional bilangan
real juga berlaku pada operasi polonomial. Misalkan sifat komutatif, asosiatif,
dan distributif berlaku pada operasi suku-suku polinomial berikut.
4x2 – x2 = (4 -1 )x2 =
3x2 ⇾ sifat distributif
3x X 2x2 = (3 X 2)x1+2 = 6x3 ⇾ sifat
komutatif dan asosiatif.
Penjumlahan dan pengurangan polinomial dilakukan dengan
cara menjumlahkan atau mengurangkan suku-suku sejenis yaitu suku-suku yang
mempunyai variabel berpangkat sama. Perkalian dua polinomial dilakukan dengan
menggunakan sifat distributif. Perhatikan penjumlahan, pengurangan, dan
perkalian polinomial f(x) dan g(x) berikut
Contoh :
Diketahui suku banyak f(x) dan g(x) sebagai
berikut.
f(x) = 2x3 - x2 +
5x - 10
g(x) = 3x2 - 2x + 8
Tentukan :
a) f(x) + g(x)
b) f(x) - g(x)
c) f(x) x g(x)
Penyelesaian :
a) f(x) + g(x) = (2x3 - x2 +
5x - 10) + (3x2 - 2x + 8)
= 2x3 -
x2 + 3x2 + 5x - 2x - 10 + 8
= 2x3 + 2x2 + 3x - 2
b) f(x) + g(x) = (2x3 - x2 +
5x - 10) - (3x2 - 2x + 8)
= 2x3 - x2 - 3x2 +
5x + 2x - 10 - 8
= 2x3 - 4x2 +
7x - 18
c) f(x) x g(x) = (2x3 - x2 +
5x - 10) × (3x2 - 2x + 8)
= 2x3(3x2 -
2x + 8) - x2(3x2 - 2x + 8) + 5x(3x2 -
2x + 8) - 10(3x2 - 2x + 8)
= 2x5 - 4x4 +
16x3 - 3x4 + 2x3 - 8x2 +
15x3 - 10x2 + 40x - 30x2 + 20x
- 80
= 2x5 - 7x4 +
33x3 - 48x2 + 60x – 80
Secara umum, jika polinomial f(x) berderajat m
dan polinomial g(x) berderajat n,
berlaku sifat-sifat operasi polinomial
sebagai berikut.
a. penjumlahan, pengurangan, dan perkalian
polinomial bersifat tertutup. Artinya, hasil penjumlahan, pengurangan, dan
perkalian dua polinomial merupakan polinomial juga.
b. Detajat hasil penjumlahan polinomial f(x) dan
g(x) adalah maksimum dari m dan n atau kurang dari itu.
c. Derajat hasil pengurangan polinomial f(x) dan
g(x) adalah maksimum dari m dan n atau kurang dari itu.
d. Derajat hasil perkalian
polinomial f(x) dan g(x) adalah m + n.
3.
Menghitung Nilai Polinomial
Anda telah mengetahui
bahwa jika suatu fungsi dinyatakan oleh f(x), maka nilai f(x) untuk x = k
ditulis f(k).
Dengan contoh,
f(x) = 2x3 - 3x2 +
5x +1 untuk x = 2
ditulis f(2) diperoleh dengan mensubstistusi
variabel x dalam f(x) dengan 2.
f(2) = 2(2)3 – 3(2)2 +
5(2) +1 = 1
Jadi, nilai polinomial f(x) = 2x3 -
3x2 + 5x +1 untuk x =2 adalah 15.
Contoh
soal :
Hitunglah p(5) jika p(x) = 2x3 + 4x2
– 3x + 2
penyelesaian
:
P(x) = 2x3 + 4x2 – 3x + 2
Sekarang, ruas kanan dapat dinyatakan dalam
bentuk
P(x) = (2x2 + 4x – 3)x + 2 = {(2x +
4)x – 3} x + 2
Dengan menggunakan bentuk penulisan di atas,
maka nilai plinomial untuk x = 5 adalah :
P(5) = [(2 . 5 + 4)5 – 3] 5 + 2
=
[(10 + 4)5 – 3] 5 + 2
=
[14. 5 + (-3)] 5 + 2
=
[ 70 + (-3) ] 5 + 2
= 67.
5 + 2
= 335
+ 2 = 337
Jadi, nilai polinomial P(x) = 2x3 +
4x2 – 3x + 2 untuk x = 5 adalah 337.
Dengan cara horner:
5
2 4 -3 2
10 70 335
 |
2 14 67 337 = P(5)
Selain itu ada juga polinomial identik, yaitu
dua suku banyak (polinomial) dkatakan sama (identik) jika keduanya mempunyai
derajat sama dan koefisien-koefisien suku sejenis juga sama. Misalnya :
X4 – Ax3 -
4x2 – 10x + 3 = (x2 + 2x + 3)(x2 + Bx + 1)
X4 – Ax3 -
4x2 – 10x + 3 = x4 + (B + 2)x3 + (2B + 4)x2
+ (3B +2)x + 3
Bandingkan koefisien x1 : -10 = 3B +
2
B = -4
Bandingkan koefisien x3 : A = B + 2
A = -2
4. Pembagian
Polinomial
1)
Pembagian Polinomial dengan Cara Bersusun
Seperti halnya pembagian bilangan, pembagian polinomial juga dapat
dilakukan dengan cara bersusun.
Contoh Soal:
f(x) = 12x⁴ – 10x³ + 8x – 3 dan g(x) = 2x² – x + 4. Tentukan suku banyak h(x) dan s(x) di mana f(x) =g(x) ∙ h(x) + s(x).
Penyelesaian :
Sebelum melakukan pembagian bersusun,
kita sisipi suku 0x² pada suku banyak yang akan
dibagi agar suku banyak tersebut memiliki suku yang lengkap.
Proses
pembagian tersebut sudah selesai karena 3x + 49 memiliki derajat yang lebih
rendah daripada 2x² – x + 4. Berdasarkan pembagian bersusun di
atas kita dapat melihat bahwa h(x) = 6x² – 2x – 13 dan s(x) = 3x + 49, sehingga
12x⁴ – 10x³ + 8x – 3 =
( 2x2 – x + 4 )(6x2 – 2x – 13) + ( 3x + 49)
Secara
umum dapat dituliskan :
dengan
f(x) polinomial yang dibagi
g(x) polinomial
yang pembagi
h(x) polinomial hasil bagi
s(x) polinomial sisa
2) Pembagian
Polinomial dengan Cara Skema Horner
(Pembagian Sintesis)
a.
Pembagian polinomial oleh (x – k)
Pembagian polinomial f(x) oleh (x – k)
dapat dilakukan dengan cara skema
Horner.
Contoh :
f(x) = 2x3 – 3x2 + x + 6
untuk x = -2
-2
2 -3 1 6
-4 14 -30
+
2
14 15 -24
Sama dengan
koefisien-koefisien
hasil bagi f(x)
oleh x + 2
Secara umum, jika f(x) dibagi (x – k) dapat
dituliskan:
dengan f(x) polinomial yang dibagi,
h(x) polinomial
hasil bagi, dan
sisa s(k) = f(k)
b. Pembagian Polinomial oleh (ax + b)
Di atas telah dijelaskan bahwa jika polinomial f(x) dibagi (x – k)
memberikan hasil bagi h(x) dan sisa s, maka diperoleh hubungan:
F(x) = (x – k)h(x) + S
Jika k = - b/a , hubungan
di atas menjadi:
F(x) = (x +b/a) h(x) + S
= 1/a (ax + b)h(x) + S
= (ax + b) + S
Dengan demikian, hasil bagi f(x) oleh (ax + h)
adalah h(x)/a dan sisa s =
f (- b/a )
Contoh
Soal :
Tentuan hasil bagi dan sisa pembagian 3x3
+ 5x2 – 11x + 8 dengan 3x + 1
Penyelesaian
:
Karena ax + b = 3x + 1 maka - b/a = - 1/3
3 1 6 8
-1 0 -2
+
3 0
6 6 = f
(- 
)
)
P(x) = (x + 
)(x2 + 0x + 6 ) + 6
)(x2 + 0x + 6 ) + 6
P(x) = (x + ) (x2 + 6) + 5
) (x2 + 6) + 5
P(x) = (3x + 1)( x2
+ 11)
Jadi, hasil baginya x2
+ 2x – 3 dan
c. Pembagian Polinomial oleh Polinomial Derajat
Dua
Misalkan polinomial f(x) dibagi oleh polinomial
p(x) = ax2 + bx + c. Hasil bagi dan sisa
pembagian ini dapat dicari dengan skema horner jika p(x) dapat difaktorkan, dan
dapat dicari dengan cara skema horner-kino. Misalkan ax2 + bx + c =
a(x – k1)(x – k2). Hasil bagi dan sisa pembagian
polinomial f(x) oleh a(x – k1)(x – k2) dicari dengan cara
sebagai berikut.
1) Bagila f(x)
dengan x – k1. Misalkan hasil bagi dan sisa pembagian polinomial
f(x) oleh g(x) dan S, maka f(x) = (x – k1)g(x) + S1.
2) Hasil bagi
g(x) dibagi lagi dengan x – k2. Misalkan hasil bagi dan sisa
pembagian g(x) oleh (x – k2) adalah h(x) dan S2, maka
g(x) = (x – k2)h(x) + S2.
Dengan demikian dapat ditulis.
f(x) = (x – k1)[( x – k2)
h(x) + S2] + S1
= ( x –
k1)( x – k2)h(x) + ( x – k1) S2 + S1
= a(
x – k1)( x – k2) h(x)/a + ( x – k1)
S2 + S1
= (ax2 + bx + c) h(x)/a + S2x
+ S1 - S2k1
Jadi, polinomial f(x) dibagi ax2
+ bx + c memberikan hasil bagi h = h(x)/a dan sisa
S = S2x + S1
- S2k1.
Contoh soal :
Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian
suku banyak 2x4 – 3x3 + 4x2 – x + 6 oleh x2 – 2x - 8
penyelesaian :
Cara 1
f(x) = 2x4 – 3x3 + 4x2
– x + 6
p(x) = x2 – 2x - 8 = (x –
4)(x + 2)
maka k1 = 4 dan k2
= -2
2 -3 4 -1 6
k1 =
4 8 20 96 380 +
2 5 24 95 386 → S1
k2 =
-2 -4 -2 -44 +
2 1 22 51 → S2
Diperoleh :
Hasil bagi : 2x2 – x +
22
Sisa =
S2 (x – k1) + S1
= 51(x – 4) +
386
= 51x – 204 +
386
= 51x + 182
Cara 2 :
Horner-kino
Tentukan hasil bagi dan sisa
pembagian suku banyak 2x4 – 3x3+ 4x2 – x + 6 oleh x2 – 2x – 8
Jawab :
x2 – 2x – 8 = 0
x2 = 2x + 8
2 -3 4 -1 6
8 16 8 176
2 4
2 44 +
2 1 22 51 182
Koefisien hasil bagi koefisien sisa
Maka, kita peroleh hasil bagi = 2x2
+ x + 22
Sisa = 51x + 182
5. Teorema Sisa dan
Teorema Faktor
1)
Teorema Sisa
P(x) = D(x) .
H(x) + S P(x) = unsur yang dibagi
H(x)
= hasil bagi
S = sisa pembagian
Jika
suku banyak P(x) dibagi x – k, maka sisanya adalah P(k).
Bukti :
Gunakan persamaan P(x) = (x – k) . H(x)
+ S. Derajat S lebih rendah dari x – k, oleh sebab itu, S merupakan kostanta.
Untuk x = k, akan diperoleh
P(k) = (k – k) . H(k) + S
P(k) = 0. H(k) + S
Jadi, P(k) = S (terbukti)
Contoh soal :
Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian
suku banyak 3x4 – 2x3 + x – 7 dengan x-2
penyelesaian :
Pembagi x – k = x – 2, maka k = 2
3 -2 0 1 -7
2 6 8 16 34
+
3 4 8 17
27 = f(2) (teorema sisa)
Hasil baginya 3x3 +
4x2 + 8x +17 dan sisanya 27
2) Teorema Faktor
Suku banyak P(x) mempunyai faktor (x –
k) jika dan hanya jika P(k) = 0. Sebaliknya, jika (x – k) adalah faktor dari
P(x), maka k adalah akar dari P(x) = 0 atau P(k) = 0
Contoh soal:
Tunjukkan bahwa x – 3 merupakan fator dari suatu suku banyak
P(x)
= x3 - x2 – x –
15.
penyelesaian :
3 1 -1 -1 -15
3 6 15
+
1 2 5 0
6. Persamaan Polinomial
1)
Persamaan Polinomial
Bentuk umum persamaan polinomial dengan
variabel x sebagau berikut.
anxn +
an-1xn-1 +
an-2xn-2 +. . . +
a2x2 + a1x + a0 = 0
an ≠ 0 dan n
bilangan asli.
Persamaan polinomial merupakan kalimat
terbuka yang nilai kebenarannya tergantung pada nilai variabel yang diberikan.
Nilai variabel yang membuat persamaan polinomial bernilai benar dinamakan
penyelesaian atau akar persamaan polinomial.
Contoh
:
Persamaan polinomial : x3 –
4x2 + x + 6 = 0
Untuk x = 1:
(1)3 – 4(1)2 +
(1) + 6 = 0
→
1 – 4 × 12 + 1 + 6 =
0
→
1 – 4 + 1 + 6 = 0
→ 4 = 0 (salah)
Diperoleh x
= 1 bukan penyelesaian persamaan polonomial.
Untuk x = 2
(2)3 – 4(2)2 +
(2) + 6 = 0
→ 8 – 16 + 2 + 6 = 0
→ 0 = 0
(benar)
Diperoleh x = 2
merupakan penyelesaian polinomial.
2)
Menentukan Akar- Akar Persamaan Polinomial
Menentukan akar-akar persamaan polinomial
berarti menentukan nilai variabel yang membuat persamaan polinomial bernilai
benar. Untuk menentukan akar-akar polinomial berderajat dua dapat dilakukan
dengan pemfaktoran kuadrat, melengkapkan kudarat sempurna, dan rumus abc. Sementara itu untuk polinomial berderajat
lebih dari dua dilakukan dengan cara pemfaktoran.
Contoh:
x3 + 3x2 - 6x -
8 = 0
→(x + 1)( x2 + 2x – 8) = 0
→(x + 1)(x – 2)(x + 4) = 0
→ x + 1 = 0 atau x – 2 = 0 atau x + 4
= 0
→
x = -1 atau x =
2 atau x = -4
Jadi, akar-akar persamaan polinomial
adalah -1, 2, dan -4
3) Jumlah
dan Hasil kali Akar-Akar Persamaan Polinomial
Teorema
Vieta
1. Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan ax2 + bx
+ c = 0 maka
.
x1 + x2 = -b/a
x1.x2 = c/a
2. Jika x1, x2 dan x3 akar-akar
persamaan ax3 + bx2 + cx
+ d = 0 maka
.
x1 + x2 + x3 = -b/a
x1.x2 + x1.x3 + x2x3 = c/a
x1x2x3 =
-d/a
3. Jika x1, x2 x3 dan x4 akar-akar
persamaan ax4 + bx3+ cx2 + dx + e = 0 maka
.
x1 + x2 + x3 + x4 = -b/a
x1.x2 + x1.x3 + x1x4+ x2.x3 + x2x4 +
x3x4 = c/a
. x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4 =
-d/a
x1x2x3x4 = e/a
Contoh
Soal :
Persamaan x3 – 8x2 + 3x + 7 = 0 memiliki akar-akar p, q, dan r.
Tentukan nilai dari p2 +q2 +r2
penyelesaian :
p + q + r = -b/a = 8
pq + pr + qr = c/a = 3
pqr = -d/a = -7
p2 +
q2 + r2 =(p+q+r)2 – 2(pq + pr + qr) =82 – 2.3 = 58
7. Fungsi Pecahan Sebagian
Untuk
setiap faktor linear (ax + b) pada penyebut, terdapat satu pecahan dalam
bentuk A/ax+b di mana A konstanta.
Contoh soal :
Penyelesaian :
Penyelesaian :
A + B =
1 ...(1)
3A – 2B = -12 ...(2)
Eliminasi
persamaan (1) dan (2)
A + B =
1 ×2
2A + 2B = 2
3A
– 2B = -12 ×1 3A – 2B
= -12 +
5A = -10
A = -2
⇒ A
+ B = 1
⇒ -2 + B = 1
⇒ B =
3
Untuk
setiap faktor linear (ax + b) yang berulang n kali pada penyebut, maka terdapat
n pecahan.
Contoh soal :
Penyelesaian :
Koefisien x2 : A + 2B = 4 ...(1)
Koefisien x1 : 2C – B = 3
B = 2C –
3 ...(2)
Dari (1) dan
(2) : A + 4C = 10 ...(3)
Konstanta : 4A – C = 6 ...(4)
Dari (2), (3), dan
(4) diperoleh A = 2, B = 1, dan C = 2
8.
Masalah yang Melibatkan Polinomial
Banyak masalah yang dapat anda jumpai
dalam kehidupan sehari-hari yeng
penyelesainnya menggunakan polinomial.
Contoh :
Sebuah perusahaan
sepatu mempunyai persedian bahan baku kulit yang memenuhi persamaan: f(x) = x
-4x + 5, di mana x dalam meter. Apabila bahan baku untuk sebuh sepatu memenuhi
persamaan (x – 2), tentukan :
a. jumlah sepatu yang
dapat diproduksi.
b. sisa bahan baku
setelah diproduksi.
Penyelesaian :
a. Jumlah sepatu
yang dapat diproduksi merupakan hasil bagi persediaan bahan baku
dibagi bahan baku. Dengan menggunakan cara
Horner, diperoleh :
2 1
-4 5 0
2 -4 2
+
1 -2
1 2
Jadi, jumlah sepatu yang dapat
diproduksi adalah x2 – 2x + 1
b.
Dari cara horner pada soal (a) diperoleh sisa bahan baku setelah diproduksi
adalah 2 meter bahan baku kulit.
Sekian uraian yang bisa kami jelaskan,
mohon di maafkan apabila banyak kekurangannya karena kami masih tahap belajar.
Semoga ini dapat bermanfaat bagi teman-teman semua. Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Daftar Pustaka :
KeramI, Dj.
Dan Sitanggang, C.2003. Kamus Matematika.
Jakarta: Balai Pustaka.
Bramasti, R. 2012.
Kamus Matematika. Surakarta: Aksara
Sinergi Media
Akhmad,
Ghany, dkk. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas X1. Bandung: Yrama Widya.
Noormandiri.
B. K. 2006. Matematika untuk SMA/MA Kelas
XI. Jakarta. Erlangga.
Comments
Post a Comment